微积分（高等数学）趣味补充习题系列

第2题（无穷级数）

对于 $x > 1$ , 求无穷级数的和

\frac{x}{x + 1} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x^{2} + 2)} + \frac{x^{4}}{(x + 1) (x^{2} + 1) (x^{4} + 1)} + \dots

思路分析：
处理无穷级数的最基本方法是看看是否能否直接对有限项进行求和, 求和的主要方法是裂项相消.

解答：
对于正整数 $n$ , 集合 $S_{n} = \frac{x}{x + 1} + \frac{x^{2}}{(x + 1) (x^{2} + 2)} + \dots + \frac{x^{2 n}}{(x + 1) (x^{2} + 1) (x^{2 n} + 1)}$ ,
有

\begin{aligned} \frac{S_{n} (x)}{x - 1} & = \frac{x}{x^{2 - 1}} + \dots + \frac{x^{2^{n}}}{x^{2^{n + 1}} + 1} \\ = (\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1}) + (\frac{1}{x^{2 - 1}} - \frac{1}{x^{4} - 1}) + \dots + (\frac{1}{x^{2^{n}} - 1} - \frac{1}{x^{2^{n + 1}} - 1}) \\ = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x^{2^{n + 1}} - 1} . \end{aligned}

因而, 对于 $x > 1$ , 我们有

lim_{n \to \infty} \frac{S_{n} (x)}{x - 1} = \frac{1}{x - 1},

得到$$\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{x^2}{\left(x+1\right) \left(x^{2}+1\right)}+ \dots
= \lim_{ n \to \infty } S_{n}(x)=1.$$

注1：本题来自于《The Red Book of Mathematical Problems》的第100题.
注2：写出通项后先不要着急裂项, 先观察分母, 发现有 $x^{2^{n}}$ 这样的式子, 并且有 $n$ 项乘积, 显然是暗示我们是要通过某种方式把分母的 $n$ 项乘积给整理到只有 $1$ 项乘积, 结合 $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ 可以把 $a$ , $b$ 的幂次都乘以 $2$ , 而分母中 $(1 + x^{2^{n}})$ 项和它的相邻项 $(1 + x^{2^{n - 1}})$ 中的 $x$ 和 $1$ 的幂次刚好是 $2$ 倍的关系, 这暗示我们进行解答中的尝试, 将分子分母同乘以 $(x - 1)$ , 从而使得 $n$ 项乘积可以逐步减少.