微积分（高等数学）趣味补充习题系列

第5题 (级数求和)

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计算下面无穷级数的和

思路分析：
本题难度较大, 题目中的式子和所学的知识好像不是很接近, 因此读者可以采取逐步变形的情况来联系所学的知识, 也就是说, 先把式子还原为和自己所学的式子最接近的那种情况, 显然, 最接近的是$e^x=1+{\displaystyle \frac{x}{1!}}+{\displaystyle \frac{x^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{x^n}{n!}}+\cdots$, 但是题目中的每一项的分母的次数都是一样的, 是$3$次方, 我们先不考虑$3$次方, $2$次方, 我们先考虑最简单的$1$次方, 也就是说和题目最接近的所学的式子是$e^1=1+{\displaystyle \frac{1}{1!}}+{\displaystyle \frac{1^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{1^3}{3!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1^n}{n!}}+\cdots$, 但是想一想, 还有什么别的式子也可以从$e^x$导出每一项的分子都是$1$次方? 不能遗漏, 还有$e^{-1}=1+{\displaystyle \frac{-1}{1!}}+{\displaystyle \frac{(-1{)}^2}{2!}}+{\displaystyle \frac{(-1{)}^3}{3!}}+\cdots +{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}+\cdots$, 好像和题目这个形似的交错级数更接近了, 但是我们这里每一项的分子是常数$1$, 而不是$2^3,3^3,4^3\cdots$, 那么我们应该怎么办? 先写出通项, 也就是 ${\displaystyle \frac{(n+1{)}^3}{n!}}$, 这个式子和${\displaystyle \frac{1}{n!}}$ 有什么关系? 还是老的方法, 先别管这个$3$次方, 先看看$2$次方, $1$次方是什么情况, ${\displaystyle \frac{(n+1{)}^3}{n!}}$和${\displaystyle \frac{1}{n!}}$ 有什么联系? 显然${\displaystyle \frac{(n+1)}{n!}}={\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}}+{\displaystyle \frac{1}{n!}}$, 如果对这个项求和, 就变成了$2$个对$\frac{1}{n!}$的项求和(最多差有限个初始项), 类似地, 我们应该知道$(n+1{)}^2$展开, 也可以用类似的方法变成若干个${\displaystyle \frac{1}{(n-2)!}}$, ${\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}}$, ${\displaystyle \frac{1}{n!}}$的项的线性组合(例如${\displaystyle \frac{n^2}{n!}}={\displaystyle \frac{n}{(n-1)!}}={\displaystyle \frac{1}{(n-2)!}}+{\displaystyle \frac{1}{(n-1)!}}$, 因此$(n+1{)}^3$也同理, 这样我们就可以用待定系数法.

解答：
我们有$(n+1{)}^3=n(n-1)(n-2)+6n(n-1)+7n+1$，所以^[2]